本篇简单探讨贝叶斯公式的历史演进和基础应用，是《白话高中数学——概率和统计》漫谈的第11篇短文。

在条件概率的范畴内，除了全概率公式之外，另一个与条件概率紧密相关，且具有深远影响的重要应用是贝叶斯公式。

英国数学家托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）在1761年发表了一篇旨在解决“逆概率”问题的论文，提出了通过一个观察到的统计概率，去反推另外一个假设概率的理论方法，不过他本人当时并没有深入发展这一理论，19世纪初，法国数学家 皮埃尔-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace），把这一理论推广到更广泛的统计领域，形成了现代贝叶斯统计学的基础。

贝叶斯公式描述的是条件概率的逆向推理，核心思想是通过已知的信息，这些信息可能是历史统计信息或者是一种经验，又或者是根据已有知识进行的概率估计——也就是先验概率，结合新情况下得到的数据，反向修正已有的假设或预测，从而更加准确的反映现实情况，得到新情况下的后验概率。

其数学表达为：

P(A∣B)：后验概率，表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率——这是我们要经过反向推理计算得到的数据。

P(B∣A)：似然度（Likelihood），表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率,也就是新情况下得到的数据。

P(A)：先验概率（Prior），表示在观察到任何新的证据之前，事件A发生的初始概率。

P(B)：边际似然（Marginal Likelihood），表示事件B发生的总概率，可通过全概率公式计算。

贝叶斯公式中出现了几个中学生不太好理解的新名词，不用担心，我们举一个生活中的例子，大家就明白了。

话说根据历年的统计数据，人群中感冒的比例（可以理解为概率）为5%(先验概率)，感冒人群中发烧的比例为10%（似然度），假设非感冒引起的发烧在人群中的占比为30%，现在门诊来了一位发烧的病例，请问这位发烧的病例，得了感冒的概率是多少（后验概率）？

这就是一个反向求索的经典例子，我们可以根据贝叶斯公式，求得发烧人群中，得了感冒的比例是多少。

首先定义感冒为事件A：P(A)=5%

定义发烧为事件B:P(B)=发烧的概率。

发烧的概率是一个全概率，它是两个互逆事件的概率之和，也就是既感冒又发烧的概率+不感冒情况下发烧的概率。

既感冒又发烧的概率为P(AB)=P(A)P(B|A)=5%×10%=0.005

不感冒情况下发烧的概率：P(不感冒发烧)=P(不感冒)P(发烧|不感冒)=（1-5%）×30%=0.285

把二者加在一起就是发烧的全概率：

根据贝叶斯公式：

这就是说，门诊发烧病例中，约有1.7%是感冒引起的。

这个例子的数据是我随手编的，不是实际的统计数据，但它很好地展示了如何使用贝叶斯定理进行逆向推理，并根据新的证据（发烧）更新我们对某事件（感冒）发生的概率估计。

其实在中学阶段，我们对先验概率、似然度、后验概率这几个名词完全可以不去管它，我们只需通过概率的乘法公式以及条件概率、全概率这些熟悉的公式来理解它就可以，比如这个条件概率公式：

分子是指AB同时发生的概率，它可以写成A的概率与A条件下B发生的概率乘积：

这样条件概率公式就可以写成简化的贝叶斯公式：

需要注意的是，上述贝叶斯公式虽然可以通过条件概率推导出来，但二者还是有着本质区别的。

原因在于贝叶斯公式中，分母 P(B) 是一个全概率，它需要根据实际场合求出。

它可以是基于与 A 事件相关的样本空间计算得出，即考虑所有可能的 A 事件（或其补集）前提下 B 事件发生的全概率。

也可以通过独立于 A 事件之外的其他因素或背景信息求得。这意味着在实际问题中，确定 P(B)的值需要全面考虑所有可能影响 B 发生的因素。

不过不用担心，划线文字提到的这种情况，我们中学阶段还很少涉及，这对中学生来说，或许是个好消息。

在中学阶段遇到的与贝叶斯定理相关的试题，通常会围绕一些具体的、易于理解的场景来设计，场景分类大致如下：

医学检测场景：例如已知某种疾病的患病率，以及一种诊断测试的准确率。问题可能会问：如果一个人的测试结果为阳性，那么这个人实际患病的概率是多少？

这个场景我们在概率漫谈（八）短文中有一个类似的例题，大家可以点击链接查看。

产品质量控制场景：试题可能涉及已知某生产线上的产品缺陷率，以及质检过程中的检测准确率。问题可能会问：如果一个产品被标记为次品，它是真正次品的概率是多少？

天气预报场景：

给出历史数据后，问题可以是：如果气象模型预测明天会下雨，基于历史数据，明天实际下雨的概率是多少？

游戏或抽奖场景：

例如，在一个抽奖活动中，已知获奖的概率，以及某种特定行为（如购买额外的抽奖机会）对获奖几率的影响。可能会问：采取这种行为后，实际赢得奖品的概率是多少？

犯罪调查场景：

比如，已知人群中某一特征出现的概率，以及拥有该特征的人成为犯罪嫌疑人的可能性。问题可能是：如果发现一名嫌疑人具有这一特征，他实际是罪犯的概率是多少？

等等。

这类题目不仅考验学生的数学能力，还促进了他们逻辑思维和解决问题的能力的发展。

我们会在接下来的短文中，设计几个例题，和大家一起讨论。